Philo en chaussettes · épisode 4

Achille et la tortue

Le héros le plus rapide de la Grèce ne rattraperait jamais une tortue ? Le paradoxe de Zénon, et pourquoi une infinité d'étapes peut tenir en un temps fini, expliqués en une minute.

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Fiche de lecture

Le paradoxe: Pour rattraper la tortue, Achille doit d'abord atteindre l'endroit qu'elle vient de quitter ; pendant ce temps, elle a un peu avancé. Et ainsi de suite, à l'infini : il ne la rattraperait jamais.
L'auteur: Zénon d'Élée, philosophe grec du Ve siècle avant notre ère, défendait son maître Parménide, pour qui le mouvement et la pluralité ne sont qu'apparence. Le paradoxe nous est connu par Aristote, Physique, livre VI.
Les chiffres de la vidéo: Achille court dix fois plus vite et laisse 100 m d'avance. Les étapes mesurent 100 m, 10 m, 1 m, 10 cm… Leur somme vaut 111,111… m, soit exactement 111 m et un neuvième. À 10 m/s, il lui faut 10 s + 1 s + 0,1 s + … = 11,11 s.
L'erreur de Zénon: Supposer qu'une infinité d'étapes prend forcément un temps infini. Une série infinie de termes positifs peut avoir une somme finie.
La résolution: Au XIXe siècle, la notion de limite (Cauchy, Cours d'analyse, 1821, puis Weierstrass) rend cette somme rigoureuse.
Les autres paradoxes: La Dichotomie, la Flèche, le Stade : Zénon en a imaginé plusieurs sur le mouvement et la pluralité.
Pour aller plus loin: Paradoxes de Zénon, sur Wikipédia